Александр Иванович родился в поселке Красноармейский Ростовской области. В 1978 году окончил Ростовский учебный авиационный центр ДОСААФ.
С 1980 года проходил службу в Вооруженных силах в Дальневосточном военном округе. В 1985 году экстерном окончил Сызранское высшее военное авиационное училище и, спустя три года, стал участником боевых действий в Афганистане.
С 1993 года проходил службу в Северо-Кавказском военном округе. В составе 325-го отдельного транспортно-боевого вертолетного полка, размещенного в станице Егорлыкской, участвовал в грузино-абхазском, осетино-ингушском конфликтах, военных действиях на территории Чечни.
В период с декабря 1999 по январь 2000 года принимал активное участие в спасении пилота самолета Су-25, эвакуации разведгруппы в сложных метеоусловиях и десантировании военнослужащих федеральных сил на высокогорную площадку при огневом противодействии боевиков.
29 января 2000 года Александр Дзюба в паре с ведущим полковником Николаем Майдановым, вылетел на эвакуацию разведгруппы. Во время выполнения боевого задания вертолет ведущего был обстрелян с земли. После ранения командира, Александр Иванович взял управление парой на себя, произвел атаку боевиков и тем самым обеспечил уход ведущего вертолета на аэродром, прикрывая отход из пары пулеметов. Доставив полковника Майданова в Моздок, вернулся на свой аэродром и в течение двух суток выполнял доставку вооружения, грузов и личного состава на высокогорную площадку Итум-Кале без прикрытия с воздуха.
За время ведения боевых действий в горячих точках выполнил около 1400 вылетов, проявив при этом высокий профессионализм, героизм и личное мужество. Трижды был представлен к званию Героя России. Общий налет к весне 2002 года составлял около 4300 часов. Опытному летчику приходилось выполнять не только боевые задания, но и сопровождать представителей миссий ООН, транспортировать высокие армейские комиссии и журналистов, спасать людей во время стихийных бедствий.
Указом Президента Российской Федерации от 6 июня 2002 года за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга в Северо-Кавказском регионе, майору Дзюбе было присвоено звание Героя Российской Федерации.
До 2004 года продолжал служить в 325-м Егорлыкском вертолетном полку, затем был уволен в запас. Награжден также орденами Красной Звезды, «За службу Родине в Вооруженных силах СССР» 3-й степени, Мужества, «За заслуги перед Отечеством».
«Александр Иванович продолжает служить своей стране и много времени посвящает патриотическому воспитанию молодого поколения. В рамках Вахты Героев Отечества он посещал Невинномысск и проводил уроки мужества для наших школьников, а также участвовал в высадке деревьев на Аллее Героев на бульваре Мира. От всего сердца желаю Александру Ивановичу крепкого здоровья, благополучия и успехов во всех начинаниях!» - отметил глава Невинномысска, Герой России Михаил Миненков.