Уроженец Новгородской области Алексей Цыбин рос в большой и трудолюбивой семье. После окончания школы был призван в погранвойска на советско-финскую границу. В 1941 году окончил военно-пограничное училище им. Кирова и получил первичное офицерское звание. Младший лейтенант Алексей Цыбин получил направление на службу в управление погранвойск Азербайджана.
Участвовал в обороне Кавказа в составе первого запасного, затем 129-го пограничного полка Управления по охране тыла войск Закавказского и Северо-Кавказского фронта. Служил в 51, 55, 56 и 77 отрядах Забайкальского и Хабаровского погранокругов вплоть до 1958 года, затем нес службу на границе ФРГ-ГДР и на Советско-Иранской границе.
В 1969 году уволился в запас КГБ СССР с должности начальника Ленкоранского погранотряда Закавказского погранокруга в звании полковника по состоянию здоровья и выслуге лет. В погранвойсках Алексей Константинович прослужил почти тридцать лет, был награжден тридцатью правительственными наградами.
В Невинномысске имя Алексея Цыбина широко известно. Ветеран участвовал в общегородских мероприятиях, военно-патриотическом воспитании молодежи. Он написал семь книг, причем первая из них, посвященная делу всей жизни – погранслужбе – была издана в канун 90-летия Алексея Константиновича.
«Свои произведения ветеран преподнес городу, а Центральная городская библиотека Невинномысска к юбилею автора выпустила именной указатель «Ветеран-пограничник Алексей Константинович Цыбин», - отметил глава Невинномысска, Герой России Михаил Миненков.