Алексей Михайлович родился в 1971 году в Ярославле. В 1993 году окончил Ярославский политехнический институт. Работал на Ярославском моторном заводе (ОАО «Автодизель») инженером-конструктором.
В 1996 году по собственному желанию поступил на воинскую службу офицером-двухгодичником. Лейтенант Чагин служил командиром разведывательного взвода мотострелкового полка в Северо-Кавказском военном округе. В 1998 году вновь по собственной просьбе был зачислен в кадровый офицерский состав и назначен командиром группы антитеррора.
16 апреля 1998 года группа старшего лейтенанта Алексея Чагина выполняла задачу по сопровождению генералов и офицеров Генерального штаба и штаба Северо-Кавказского военного округа, выехавшую на проверку опорного пункта Малгобек. В районе перевала Хурикау Сунженского хребта на административной границе Северной Осетии и Ингушетии колонна из трех автомашин попала в засаду боевиков. Среди бандитов находились снайперы, автоматчики, два гранатометчика. Когда боевики внезапно открыли огонь по колонне, Чагин дал команду вступить в бой, а сам обстрелял гранатометчика, не дав тому произвести прицельный выстрел. Граната прошла над машинами. После остановки машины, группа Чагина покинула ее и заняла круговую оборону. Получив отпор, боевики прекратили огонь и отошли. Решительные действия офицера позволили избежать расстрела всей колонны на месте.
После прекращения огня Алексей организовал пеший отход к ближайшему блок-посту и вынос раненых. Там он узнал, что пропала третья машина из его колонны, и выехал на ее поиск на автомобиле местного жителя с двумя бойцами. По дороге грузовик был обстрелян из крупнокалиберного пулемета встречным БТРом местной милиции, экипаж которого принял грузовик с чеченскими номерами и людьми в камуфляже за боевиков. Один боец — рядовой Максим Шмальц — погиб на месте, а Чагин получил тяжелые огнестрельные ранения обеих ног, груди, головы. При этом он сумел подать сигнал о прекращении стрельбы.
Алексей был эвакуирован в Моздокский госпиталь, где ему ампутировали перебитые пулями ноги.
Как оказалось, третья автомашина, на поиски которой выехал Чагин, к тому времени из-за тумана отстала и была расстреляна боевиками недалеко от места засады. Все находившиеся в ней погибли.
За мужество и героизм, проявленные при выполнении воинского долга, Указом Президента Российской Федерации от 6 июля 1998 года старшему лейтенанту Чагину Алексею Михайловичу присвоено звание Героя Российской Федерации, а также досрочно – воинское звание «капитан».
Около года Алексей находился на лечении в госпиталях. Заново научился ходить на протезах, совершил несколько парашютных прыжков и продолжил службу в Российской Армии старшим офицером 4-го отделения Дзержинского военного комиссариата города Ярославля.
В 2002 году майор Чагин уволился в запас. Живет в Ярославле, входит в правление ярославской региональной организации ветеранов боевых действий в Чеченской Республике «Защитник», является членом Общественной палаты Ярославля и координационного совета при губернаторе области по делам ветеранов войны и военной службы, руководит ярославским отделением Российской ассоциации Героев, занимается патриотическим воспитанием молодежи.
Алексей Чагин посещал Невинномысск в рамках «Вахты Героев Отечества», проводил уроки Мужества для наших школьников, а также участвовал в высадке деревьев на Аллее Героев на бульваре Мира.
«Желаю Алексею Михайловичу крепкого здоровья, благополучия и удачи во всех начинаниях! С днем рождения!» - отметил глава Невинномысска, Герой России Михаил Миненков.